Это типичные задачи
с входного тестирования
Решайте их, не подсматривая в решения.
После того, как решите, можете сверить свои решения с приведенными ниже.
Решить задачу на входном тестировании = написать ход решения!
Если нет решения, но есть ответ, при проверке задача не будет зачтена как решенная, даже если ответ верный.
Случай, когда написан ход решения, но допущена ошибка и ответ не верный, гораздо лучше, решение задачи будет внимательно рассмотрено и оценено в баллах.
Задача 1
На сковородку вмещаются 2 кусочка хлеба. На поджаривание кусочка с одной стороны требуется 1 минута.
Как поджарить за 3 минуты три кусочка хлеба с обеих сторон?
Задача 2
Из 60 одинаковых по виду колец одно немного отличается от других по весу.
Какое нужно минимальное количество взвешиваний на чашечных весах, чтобы определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные.
Задача 3
Аня, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили из смородины, две девочки - из крыжовника. Таня и Ира варили из разных ягод. Ира и Аня варили из разных ягод. Ира варила из крыжовника.
Из каких ягод варила варенье каждая девочка?
Задача 4
Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших.
Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?
Задача 5
Когда учеников одного класса построили парами, один ученик оказался без пары. Тогда их стали строить тройками, а затем четверками, и каждый раз один ученик оказывался лишним. Только когда их построили пятерками, лишних учеников не осталось.
Сколько учеников в классе?
Задача 6
Катя живет на четвертом этаже, а Оля – на втором. Поднимаясь на четвертый этаж, Катя проходит 60 ступенек.
Сколько ступенек надо пройти Оле, чтобы подняться на второй этаж?
Задача 7
Мобильник дороже чехла для него на 1000 рублей. Коля купил мобильник и чехол, заплатил за покупку 1100 рублей.
Сколько стоил чехол ?
Задача 8
На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что учеников, которые выше него, в четыре раза больше, чем учеников, которые ниже него. А Лёня заметил, что учеников, которые выше него, в три раза меньше, чем учеников, которые ниже него.
Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?
Задача 9
У Пети не хватает на мороженое 25 рублей, а у Маши – 5 рублей. Они скинулись, чтобы купить одно мороженое на двоих, но денег им всё равно не хватило.
Сколько могло стоить мороженое?
Задача 10
Три подруги Саша, Маша и Даша очень талантливы. Одна из них певица, другая балерина, а третья - актриса. Все они живут в разных городах - в Москве, Питере и Екатеринбурге. Известно, что: Саша живет не в Москве, а Даша - не в Питере. Москвичка не снимается в кино, а та, кто живет в Питере - певица. Даша равнодушна к балету.
Чем занимается Маша и где она живет ?
РЕШЕНИЯ
Задача 1
На сковородку вмещаются 2 кусочка хлеба. На поджаривание кусочка с одной стороны требуется 1 минута.
Как поджарить за 3 минуты три кусочка хлеба с обеих сторон?
Решение
1 мин: 1 верх, 2 верх;
2 мин: 1 низ, 3 верх;
3 мин: 2 низ, 3 низ;
Задача 2
Из 60 одинаковых по виду колец одно немного отличается от других по весу.
Какое нужно минимальное количество взвешиваний на чашечных весах, чтобы определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные.
Решение
За одно взвешивание ничего выяснить не получится.
Есть алгоритм, которым можно решить задачу за 2 взвешивания.
1 взвешивание:
Делим все кольца на три части по 20 колец и взвешиваем две группы.
Если они равны, значит отличающееся кольцо в третьей группе.
2 взвешивание:
Сравниваем третью группу с любой из первых двух. Так как отличающееся кольцо в третьей группе, то, если она тяжелее, то и кольцо тяжелее и наоборот.
Задача 3
Аня, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили из смородины, две девочки - из крыжовника. Таня и Ира варили из разных ягод. Ира и Аня варили из разных ягод. Ира варила из крыжовника.
Из каких ягод варила варенье каждая девочка?
Решение
Таня и Ира варили из разных ягод, Ира варила из крыжовника ⇒ следовательно Таня варила из смородины
Ира и Аня варили из разных ягод, Ира варила из крыжовника ⇒ следовательно Аня варила из смородины
Две девочки варили из смородины, две из крыжовника, Аня и Таня варили из смородины ⇒ следовательно Юля варила из крыжовника
Ответ: Ира и Юля - из крыжовника; Аня и Таня - из смородины.
Задача 4
Учитель задал на уроке сложную задачу. В результате количество мальчиков, решивших эту задачу, оказалось равным количеству девочек, ее не решивших.
Кого в классе больше — решивших задачу или девочек?
Решение
Пусть
Р – общее количество учеников, решивших задачу,
Д – общее количество девочек.
В задаче требуется сравнить Р и Д
1) Р = Мр + Др, где
Мр – количество решивших задачу мальчиков
Др – количество решивших задачу девочек
2) Д = Др + Дн, где
Дн – количество не решивших задачу девочек
3) По условию Дн = Мр. Обозначим эту величину как Х (для наглядности).
Тогда:
(из 1)) Р=Х+Др
(из 2)) Д=Х+Др
Следовательно Р=Д
Ответ: Количество решивших задачу учеников равно количеству девочек.
Задача 5
Когда учеников одного класса построили парами, один ученик оказался без пары. Тогда их стали строить тройками, а затем четверками, и каждый раз один ученик оказывался лишним. Только когда их построили пятерками, лишних учеников не осталось.
Сколько учеников в классе?
Решение
Задача решается перебором:
1) число делится нацело на 5. Такие числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…
2) число нечетное (делится на 2 с остатком), значит все числа, которые заканчиваются на 0 нам не подходят. Остаются: 5, 15, 25, 35
3) число должно делиться на 3 с остатком 1. Значит 5, 15, 35 не подходят. Остается только 25.
4) 25 делится на 4 с остатком 1.
Таким образом нам подходит только одно число 25.
Ответ: в классе 25 учеников.
Задача 6
Катя живет на четвертом этаже, а Оля – на втором. Поднимаясь на четвертый этаж, Катя проходит 60 ступенек.
Сколько ступенек надо пройти Оле, чтобы подняться на второй этаж?
Решение
Когда Катя поднимается на 4й этаж она проходит 3 лестничных пролета. Значит, в каждом пролете по 60/3 = 20 ступенек.
Чтобы подняться с первого на второй этаж надо пройти 1 лестничный пролет. Следовательно, Оля проходит 20 ступенек.
Ответ: 20 ступенек.
Задача 7
Мобильник дороже чехла для него на 1000 рублей. Коля купил мобильник и чехол, заплатил за покупку 1100 рублей.
Сколько стоил чехол ?
Решение
Пусть х – цена чехла, тогда цена мобильника х+1000
По условию:
х + х + 1000 = 1100
2х = 100
х = 50.
Ответ: чехол стоит 50 рублей.
Задача 8
На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что учеников, которые выше него, в четыре раза больше, чем учеников, которые ниже него. А Лёня заметил, что учеников, которые выше него, в три раза меньше, чем учеников, которые ниже него.
Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?
Решение
Пусть
Х – количество учеников, которые ниже Димы
Y – количество учеников, которые выше Лёни
Z - количество учеников в классе
По условию,
относительно Димы Z = 5Х + 1 ⇒ Z – 1 = 5X
относительно Лёни Z = 4Y +1 ⇒ Z – 1 = 4Y
Видим, что (Z – 1) должно делиться и на 4, и на 5. По условию задачи Z должно быть ≤ 30, значит (Z - 1) должно быть
≤ 29. Целое положительное число, удовлетворяющее всем трем условиям только одно, это 20 ⇒ Z = 21.
Ответ: в классе 21 ученик.
Задача 9
У Пети не хватает на мороженое 25 рублей, а у Маши – 5 рублей. Они скинулись, чтобы купить одно мороженое на двоих, но денег им всё равно не хватило.
Сколько могло стоить мороженое?
Решение
Пусть
М - количество денег у Маши
П - количество денег у Пети
Х – цена мороженного
По условию задачи:
М + П < X (1)
M + 5 = X (2)
подставим (1) в (2), получим М + П < М + 5 ⇒ П < 5
П < 5 и при этом П ≥ 0. Действительно у Пети может быть и 0 рублей.
Из условия знаем, что П + 25 = Х, значит 25 ≤ Х < 30
Правильных ответов может быть 2:
1) если предположить, что мороженное стоит только целое число рублей, тогда возможные варианты цены 25, 26, 27, 28, 29 руб.
2) мороженное может стоить N рублей и M копеек, тогда цена мороженого – любая в интервале [25руб, 29руб 99 коп]
Задача 10
Три подруги Саша, Маша и Даша очень талантливы. Одна из них певица, другая балерина, а третья - актриса. Все они живут в разных городах - в Москве, Питере и Екатеринбурге. Известно, что: Саша живет не в Москве, а Даша - не в Питере. Москвичка не снимается в кино, а та, кто живет в Питере - певица. Даша равнодушна к балету.
Чем занимается Маша и где она живет ?
РЕШЕНИЕ
Для наглядности перебора удобно составить таблицу, в которой отражены все утверждения условия задачи:
| Саша | Маша | Даша | |||
| Екатеринбург | |||||
| Питер | нет | певица | |||
| Москва | нет | не актриса | |||
| не балерина |
Знаем, что Даша живет НЕ в Питере. Предположим, что она живет в Москве.
Она не балерина, и если она живет в Москве, то и не актриса. Следовательно, Даша - певица. Но, по условию задачи певица живет в Питере → получили противоречие!
Значит, Даша живет в Екатеринбурге и она актриса.
Саша живет не в Москве (по условию), в Екатеринбурге живет Даша, значит Саша живет в Питере и она певица.
Следовательно Маша живет в Москве и она балерина.
Ответ: Маша живет в Москве и она балерина.